在数学中，复数是一个非常重要的概念，它由实部和虚部组成，通常表示为 \( z = a + bi \)，其中 \( a \) 是实部，\( b \) 是虚部，而 \( i \) 是虚数单位，满足 \( i^2 = -1 \)。

当我们需要计算复数 \( z \) 的平方时，实际上就是在求 \( z^2 \)。具体步骤如下：

1. 将复数写成标准形式

假设复数 \( z = a + bi \)，那么它的平方就是：

\[

z^2 = (a + bi)^2

\]

2. 展开表达式

根据平方公式 \( (x + y)^2 = x^2 + 2xy + y^2 \)，我们可以将 \( z^2 \) 展开为：

\[

z^2 = a^2 + 2abi + (bi)^2

\]

3. 化简虚数部分

由于 \( i^2 = -1 \)，所以 \( (bi)^2 = b^2 \cdot i^2 = -b^2 \)。因此，上式可以进一步化简为：

\[

z^2 = a^2 - b^2 + 2abi

\]

4. 分离实部与虚部

最终结果可以写成实部和虚部的形式：

\[

z^2 = (a^2 - b^2) + (2ab)i

\]

示例计算

假设 \( z = 3 + 4i \)，我们来计算 \( z^2 \)：

- 实部 \( a = 3 \)，虚部 \( b = 4 \)

- 根据公式：

\[

z^2 = (3^2 - 4^2) + (2 \cdot 3 \cdot 4)i

\]

\[

z^2 = (9 - 16) + (24)i

\]

\[

z^2 = -7 + 24i

\]

因此，复数 \( z = 3 + 4i \) 的平方是 \( -7 + 24i \)。

总结

通过上述方法，我们可以轻松计算任何复数的平方。只需记住展开公式并注意虚数单位 \( i \) 的性质即可。希望这个过程对你有所帮助！