【特征多项式定义】在数学中，特别是线性代数领域，特征多项式是一个非常重要的概念。它与矩阵的特征值和特征向量密切相关，是分析矩阵性质的重要工具之一。本文将对“特征多项式”的定义进行总结，并通过表格形式清晰展示其相关内容。
一、特征多项式的定义
对于一个n×n的方阵A，其特征多项式是指关于变量λ的多项式，形式如下：
$$
p(\lambda) = \det(A - \lambda I)
$$
其中：
- $ A $ 是一个n阶方阵；
- $ I $ 是单位矩阵；
- $ \det $ 表示行列式；
- $ \lambda $ 是一个标量变量。
该多项式的根即为矩阵A的特征值，而对应的非零向量称为特征向量。
二、特征多项式的性质总结
| 项目 | 内容 |
| 定义 | 特征多项式是矩阵A与其标量λ乘以单位矩阵I的差的行列式，记作 $ p(\lambda) = \det(A - \lambda I) $ |
| 次数 | n次多项式（n为矩阵阶数） |
| 系数 | 由矩阵A的元素决定，最高次项系数为1（首项系数为1） |
| 根 | 多项式的根即为矩阵的特征值 |
| 与特征向量的关系 | 对于每个特征值λ，存在非零向量v满足 $ Av = \lambda v $，v即为对应特征向量 |
| 可逆性 | 若0是特征多项式的根，则矩阵A不可逆；否则可逆 |
| 相似矩阵 | 相似矩阵具有相同的特征多项式 |
三、举例说明
设矩阵 $ A = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} $，则其特征多项式为：
$$
p(\lambda) = \det\left( \begin{bmatrix} 2 - \lambda & 1 \\ 0 & 3 - \lambda \end{bmatrix} \right) = (2 - \lambda)(3 - \lambda)
$$
展开后得：
$$
p(\lambda) = \lambda^2 - 5\lambda + 6
$$
该多项式的根为 $ \lambda_1 = 2 $ 和 $ \lambda_2 = 3 $，即为矩阵A的两个特征值。
四、总结
特征多项式是研究矩阵特征值和特征向量的基础工具，广泛应用于数学、物理、工程等领域。理解其定义与性质有助于更深入地掌握矩阵分析的相关知识。通过表格形式可以更直观地掌握其关键信息，避免因复杂公式导致的理解困难。
